Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．
（I）求證：AF⊥CD；
（II）求平面ACD與平面BCE夾角的大小；
（III）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（I）取CD的中點(diǎn)O，連接AO、OF，則OF∥DE，結(jié)合AC=AD=CD=DE=2，DE∥AB，我們易得到DE⊥平面ACD，進(jìn)而得到CD⊥平面AOF，由線面垂直的性質(zhì)，我們可以得到AF⊥CD；
（II）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OD、OA為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系，求出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面ACD的法向量與平面BCE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到平面ACD與平面BCE夾角的大小；
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高，求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（I）取CD的中點(diǎn)O，連接AO、OF，則OF∥DE
∵AC=AD，
∴AO⊥CD
∵DE∥AB
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD，OF⊥CD，又AO∩OF=O
∴CD⊥平面AOF
∵AF?平面AOF
∴AF⊥CD．（4分）
解：（ II）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OD、OA為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖
所以A(0，0，

3)，

B(1，0，

3

)，C(0，-1，0)，D(0，1，0)，E(2，1，0)，

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面BCE的一個(gè)法向量，
由

n ⊥ CB n ⊥ CE

得

2x+2y=0 x+y+ 3 z=0

取

n

=(1，-1，0)，（6分）
易知

m

=(1，0，0)是平面ACD的一個(gè)法向量，
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2 •1

=

2

2

，
于是平面ACD與平面BCE的夾角等于

π

4

．（8分）
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高h(yuǎn)，易求h=

3

，（10分）
VABCDE=

1

3

SABED•h=

1

3

•

1

2

(AB+DE)•AD•

3

=

3

（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及二面角的平面角及求法，棱錐的體積，在使用向量法求二面角的大小時(shí)，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量是關(guān)鍵．