Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F為CE的中點．
（1）求證：AF⊥CD；
（2）求直線AC與平面CBE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點G，連接AG、GF，則GF∥DE，利用線面垂直的判斷性質得到DE⊥CD，GF⊥CD，利用線面垂直的判斷得到CD⊥平面AGF，AF?平面AGF得到AF⊥CD．
（2）方法一：建立空間直角坐標系G-xyz，求出平面CBE的法向量，利用向量的數量積公式求出直線AC與平面CBE所成角的大小．
方法二：利用線面垂直的判定定理證得PC⊥平面CDE，得到點A到平面PCE的距離即為點D到平面PCE的距離的一半，通過解三角形求出直線AC與平面CBE所成角的大小．

解答：解：法一：（1）取CD的中點G，連接AG、GF，則GF∥DE
∵AC=AD，
∴AG⊥GD…（2分）
∵DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD
∴GF⊥CD  …（4分）
∴CD⊥平面AGF
∵AF?平面AGF
∴AF⊥CD …（6分）
（2）如圖建立空間直角坐標系G-xyz，則B（0，1，

3

），C（-1，0，0），E（1，2，0）

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，

CA

=(1，0，

3

）
設平面CBE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • CB =x+y+ 3 z=0 n • CE =2x+2y=0

設x=1，則

n

=(1，-1，0)…(9分)
cos＜

CA

，

n

＞=

CA • n

| CA |•| n |

=

2

4

，
∴直線AC與平面CBE所成角的大小為arcsin

2

4

…（12分）
法二：（1）同解法一
（2）∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴AB∥DE
延長DA、EB交于點P，連接PC   …（7分）
∵AB=1，DE=2
∴A為PD的中點，又G為CD的中點
∴PC∥AG
∴PC⊥CD，PC⊥DE
∴PC⊥平面CDE  …（9分）
∵點A到平面PCE的距離即為點D到平面PCE的距離的一半，
即h=

2

2

…（11分）
設直線AC與平面CBE所成角為θ，
則sinθ=

h

AC

=

2

4

，
∴θ=arcsin

2

4

…（12分）

點評：解決立體幾何中的線、面的位置關系或度量關系，常用的方法是通過建立空間直角坐標系，轉化為向量的問題來解決．