Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是邊長為2的正三角形，且DE=2AB=2，F是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求面ABC與面EDC所成的二面角的大小（只求其中銳角）；
（3）求BE與平面AFE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取CE的中點為M，則FM∥

1

2

DE，并且FM=

1

2

DE，結合題意可得：AB∥FM，并且AB=FM，即得到ABMF為平行四邊形，所以AF∥BM，進而結合線面平行的判定定理得到線面平行．
（2）過點C作直線l∥AB，則l∥DE，可得平面ABC∩平面CDE=l，結合題意可得：l⊥平面ACD，再由二面角的定義可得：∠ACD即為所求二面角的平面角，進而利用解三角形的有關知識得到答案．
（3）設B在平面AFE內的射影為B′，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G，得到BE與平面AFE所成角即為∠BEB′，再把線面角放入直角三角形中，進而利用解三角形的有關知識求出線面角．

解答：解：（1）證明：取CE的中點為M，則FM∥

1

2

DE，并且FM=

1

2

DE，
由題意可得：AB∥

1

2

DE，并且AB=

1

2

DE，
所以AB∥FM，并且AB=FM，
所以ABMF為平行四邊形，
所以AF∥BM，
又因為AF?平面BCE，BM?平面BCE，
所以AF∥平面BCE．
（2）過點C作直線l∥AB，則l∥DE，

所以平面ABC∩平面CDE=l，
因為AB⊥平面ACD，
所以l⊥平面ACD，
所以AC⊥l，CD⊥l，
所以∠ACD即為所求二面角的平面角．
又因為，△ACD是邊長為2的正三角形，
所以∠ACD=60°，即面ABC與面EDC所成的二面角的大小為60°．
（3）設B在平面AFE內的射影為B′，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G，
所以BE與平面AFE所成角即為∠BEB′，
因為AF⊥CD，AF⊥DE，
所以AF⊥平面CDE，所以AF⊥MN，
又因為MN⊥FE，AF∩EF=F，并且AF?平面AEF，EF?平面AEF，
所以MN⊥平面AEF．
因為BM∥平面AEF，
所以BB′=MN，
由△CGF∽△EDF可得：CG=

2

5

，所以MN=

1

2

CG=

1

5

，
因為BE=

5

，
所以sin∠BEB′=

BB′

BE

=

1

5

，
所以∠BEB′=arcsin

1

5

．

點評：本題主要考查利用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角與線面角的有關知識，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，解決空間角也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角．