Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ）求證：AB∥面CDE；
（Ⅱ）在線段AC上找一點F使得AC⊥面DEF，并加以證明；
（Ⅲ）在線段CD是否存在一點M，使得BC∥面AEM，若存在，求出CM的長度；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AB∥面CDE，只需證明AB平行平面CDE中的一條直線即可，因為AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，平行與同一條直線的兩直線平行，所以AB∥DE，而DE是平面CDE中的直線，AB不再平面CDE中，所以AB∥面CDE．
（Ⅱ）要想使AC⊥面DEF，只需AC垂直平面DEF上的兩條相交直線，因為DE⊥面ACD，所以AC垂直DE，所以只需AC垂直EF或DF即可，因為三角形ACD為正三角形，所以只需取AC的中點則AC垂直于DF，證明過程只需把分析過程倒過來即可．
（Ⅲ）先利用成比例線段找到點M的位置，是cd上靠近點C的三等分點，在由CD長求出CM長．

解答：證明：（Ⅰ）∵AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，∴AB∥DE，
又∵AB?面CDE，∴AB∥面CDE．
解：（Ⅱ）取AC的中點F，連接FD、EF，∵DE⊥面ACD，∴DE⊥AC，在正三角形ACD中，顯然AC⊥DF，
∴AC⊥面DEF
解：（Ⅲ）取CD靠近C的三等分點M，
連接BD交AE于N點，連接MN，在四邊形ABDE中，AB∥DE，

AB

DE

=

1

2

=

BN

ND

=

CM

MD

，
∴在三角形BCD中，BC∥MN，MN?面AEM，∴BC∥面AEM．
且CM=

2

3

，

點評：本題主要考查立體幾何中線面平行，線面垂直的證明，做題時綜合考查了學生的識圖能力，空間想象的能力以及計算能力．