Question

【題目】2011年，國際數學協會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數學節，來源則是中國古代數學家祖沖之的圓周率．祖沖之，在世界數學史上第一次將圓周率（π）值計算到小數點后的第7位，即3.1415926到3.1415927之間，數列{an}是公差大于0的等差數列，其前三項是“31415926”中連續的三個數，數列{bn}是等比數列，其公比大于1的正整數且前三項是“31415926”中的三個數，且a3=b3 ．
（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）cn= ，求c1+c2+c3+…+c ．（n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題可知a1=1，a2=5，a3=9，

b1=4，b2=6，b3=9，

所以an=1+4（n﹣1）=4n﹣3，bn=4× ；

（Ⅱ）由（I）可知cn= ，

則c1+c3+…+ =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ ，

c2+c4+…+ =（2+4+…+2n）﹣[（2﹣2）+（4﹣2）+（6﹣2）+…+（2n﹣2）]log32

= ﹣[ ﹣2n]log32

=2n﹣1+22n﹣2﹣（22n﹣2﹣2n﹣1）log32，

故所求值為1﹣ +2n﹣1+22n﹣2﹣（22n﹣2﹣2n﹣1）log32

【解析】（Ⅰ）通過題干確定數列{an}、{bn}的前三項，進而可得結論；（Ⅱ）通過（I）可求出cn的表達式，利用裂項相消法可知奇數項的和，利用分組求和法可求出偶數項的和，進而相加即得結論．
【考點精析】掌握數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．