Question

【題目】已知橢圓：的離心率，短軸的一個端點到焦點的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點在直線上，求直線與軸交點縱坐標的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據離心率及短軸的一個端點到焦點的距離為，可得 的值，進而得橢圓方程。

（2）設出點、及直線方程，并將直線方程與橢圓方程聯立，可得韋達定理表達式，根據判別式可得，根據線段的中點在直線上可得，進而用k表示出m，結合基本不等式可求得m的最小值。

（1）由已知得橢圓的離心率為，短軸的一個端點到焦點的距離為，

解得，

所以橢圓的方程為

（2）設直線的方程為，則直線與軸交點的縱坐標為

設點，，

將直線的方程與橢圓方程聯立

化簡得，

由韋達定理得，，

，化簡得.

由線段的中點在直線上，得，

故，即，

所以，

當且僅當，即時取等號，此時，滿足，

因此，直線與軸交點縱坐標的最小值為.