Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1),分和兩種情況討論單調(diào)性即可；(2)法一：將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，證明即可；法二：將不等式變形為，分別設(shè)，求導(dǎo)證明即可.

(1) ，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，單增區(qū)間為上增，單調(diào)減區(qū)間為上遞減。

(2)解法1： ，即證，令，，，令，，

在，上單調(diào)遞增，，，故存在唯一的使得，)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)， ， 時(shí)，； 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得證.

解法2：要證： ，即證： ，令，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ； 令，，，當(dāng) 時(shí)，，時(shí)，； 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，得證.