Question

【題目】已知數列的各項均為正數，其前項和為，且滿足，若數列滿足，且等式對任意成立．

（1）求數列的通項公式；

（2）將數列與的項相間排列構成新數列，設該新數列為，求數列的通項公式和前項的和；

（3）對于（2）中的數列前項和，若對任意都成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1時，4a1，解得a1，n≥2時，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根據數列{an}的各項均為正數，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差數列的通項公式可得an．

（2）數列{bn}滿足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1對任意n≥2成立．利用等比數列的通項公式可得bn．進而得出cn，T2n．

（3）Tn≥λcn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，對n分類討論即可得出．

（1）由，即，所以，

兩式相減得，，

故，

因為，所以．

又由得．

所以，數列是首項為，公差為的等差數列．

所以，數列的通項公式為．

（2）由題意，數列是首項為，公比為的等比數列，故．

所以，

數列的前項和，數列的前項和．

所以，．

（3）當為偶數時，設（），由（2）知，，，

由，得，

即，

設，則，

所以，當時，單調遞增，當時，單調遞減．

因為，當時，，所以，．

所以，．

當為奇數時，設（），則，

，

由，得，即，

設，則

，故單調遞增，，故．

綜上，的取值范圍是．