Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足且，點為的中點，點為邊上的動點，且.

（1）求證：平面平面；

（2）是否存在實數，使得二面角的余弦值為？若存在，試求出實數的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或.

【解析】

試題（1）取的中點，連接，先證明四邊形為平行四邊形，再證明平面，進而可得平面平面；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，結合平面一個法向量為，利用空間向量夾角的余弦公式列出關于的方程即可求解.

試題解析：（1）取的中點，連接，

∵是的中點，是的中點，∴．

又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形．

∵，∴平面，∴，∴，

∵，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）存在符合條件的，

以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，設，從而，則平面的一個法向量為，

又平面即為平面，其一個法向量為，

則，

解得或，故或．