Question

【題目】如圖，橢圓 的左右焦點分別為的、，離心率為；過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，當時， 點在軸上的射影為。連結并延長分別交于、兩點，連接； 與的面積分別記為， ，設.

（Ⅰ）求橢圓和拋物線的方程；

（Ⅱ）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ,;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ ）由題意得得，根據點M在拋物線上得，又由，得 ，可得，解得，從而得，可得曲線方程。（Ⅱ ）設， ，分析可得，先設出直線的方程為 ，由，解得，從而可求得，同理可得,故可將化為m的代數式，用基本不等式求解可得結果。

試題解析：

（Ⅰ）由拋物線定義可得，

∵點M在拋物線上，

∴，即 ①

又由，得

將上式代入①，得

解得

∴

，

所以曲線的方程為，曲線的方程為。

（Ⅱ）設直線的方程為，

由消去y整理得，

設， .

則，

設， ，

則，

所以， ②

設直線的方程為 ，

由，解得，

所以，

由②可知，用代替，

可得，

由，解得，

所以，

用代替，可得

所以

，當且僅當時等號成立。

所以的取值范圍為.