Question

【題目】如圖，三棱錐中，點在以為直徑的圓上，平面平面，點在線段上，且，，，，點為的重心，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題（1）連接，并延長交于點，連接，根據(jù)重心所具有的性質(zhì)結(jié)合相似三角形可得，結(jié)合線面平行判定定理得結(jié)論；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，計算出三棱錐的體積，利用等體積法可求出點到平面的距離.

試題解析：（1）如圖，連接，并延長交于點，連接.

因為為的重心，所以為的中點，且．

又，即，

所以，又因為平面，平面，

所以平面．

（2）因為點在以為直徑的圓上，所以，

又因為平面平面，平面平面，所以平面.

在中，，，

如圖，連接CQ，則，且，

所以的面積.

故三棱錐的體積.

因為平面，所以，

又因為，，所以平面，故.

在中，.

所以的面積.

設(shè)點到平面的距離為，即點到平面的距離為，

則三棱錐的體積.

顯然，即，解得，即點到平面的距離為.