Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數在區間上的單調性；

（2）若曲線僅在兩個不同的點，處的切線都經過點，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先對函數求導，再分類分析討論求解；（2）先依據導數的幾何意義建立方程組，再抽象概括出方程有解，以此為前提構造函數，最后借助導數使得問題獲解。

試題解析：

（1）證明：∵，∴，

∴，令，得.

當時，，在區間上，，∴在區間上遞減.

當時，，在區間上，，∴在區間上遞增.

當時，在區間上，，∴在區間上遞增；

在區間上，，∴在區間上遞減.

（2）曲線在兩點處的切線的方程分別為

，

.

設，將代入兩條切線方程，得

，

.

由題可得方程即有且僅有不相等的兩個實根.

設，

.

①當時，，∴單調遞增，顯然不成立.

②當時，，解得或.

∴的極值分別為，.

要使得關于的方程有且僅有兩個不相等的實根，

則或.

∵，∴，∴，（1），或.（2）

解（1），得，解（2），得或.

∵，∴的取值范圍為.