Question

【題目】已知函數（， ）.

（1）如果曲線在點處的切線方程為，求， 的值；

（2）若， ，關于的不等式的整數解有且只有一個，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（1）根據切線方程求法，先明確切點，可得等式可得a,b的值（2）關于的不等式的整數解有且只有一個，

等價于關于的不等式的整數解有且只要一個，所以構造函數，分析函數單調性在借助零點定理分析求解即可

試題解析：

（1）函數的定義域為，

.

因為曲線在點處的切線方程為，

所以得解得

（2）當時， （），

關于的不等式的整數解有且只有一個，

等價于關于的不等式的整數解有且只要一個.構造函數， ，所以.

①當時，因為， ，所以，又，所以，所以在內單調遞增.

因為， ，所以在上存在唯一的整數使得，即.

②當時，為滿足題意，函數在內不存在整數使，即在上不存在整數使.

因為，所以.

當時，函數，所以在內為單調遞減函數，所以，即；

當時， ，不符合題意.

綜上所述， 的取值范圍為.