Question

【題目】已知函數．

（1）若，求的值；

（2）若存在，使函數的圖像在點和點處的切線互相垂直，求的取值范圍；

（3）若函數在區間上有兩個極值點，則是否存在實數，使對任意的恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)存在，.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件建立方程求解；(2)借助題設依據導數知識建立函數求解；(3)借助題設條件運用二次函數的知識建立不等式組探求.

試題解析：

（1）由得，

，解得

（2）函數的定義域為，，，

由題意得，即，

整理得，

設，由，得，

則有，

設，則在上有零點，

考慮到，

所以或，解得或，

所以的取值范圍是

（3），

令，由題意，在區間上有兩個不同零點，

則有，解得

設函數的兩個極值點為和，

則和是在區間上的兩個不同零點，

不妨設，則①，

得且關于在上遞增，

因此

又由①可得②，

當時，遞減；

時，遞增；

當時，遞減，

結合②可得

設，

則，

所以在上遞增，

所以，從而，

所以，

又，所以存在，使，

綜上，存在滿足條件的，的取值范圍為