Question

【題目】設等差數列是無窮數列，且各項均為互不相同的正整數，其前項和為，數列滿足.

（1）若，求的值；

（2）若數列為等差數列，求；

（3）在（1）的條件下，求證：數列中存在無窮多項（按原來的順序）成等比數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由列方程組求得與，進而可得結果；（2）由為等差數列可得結合可得從而可得結果；（3）由可得對任意的， 都是中的項.

試題解析：（1）設等差數列的公差為，

因為無窮數列的各項均為互不相同的正整數，所以，

（1）由得， ，

解得，所以；

（2）因為數列為等差數列，所以，即，

所以，解得（已舍），

此時， ；

（3）由（1）知，等差數列的通項公式，

下證：對任意的， 都是中的項，

證明：當時，因為，

所以

，其中，

又時， ，

所以對任意的， 都是中的項，

所以，數列中存在無窮項（按原來的順序）成等比數列．