Question

已知的三個頂點在拋物線：上，為拋物線的焦點，點為的中點，；
（1）若，求點的坐標；
（2）求面積的最大值.

Answer 1

（1）或；（2）.

試題分析：（1）根據拋物線方程為，寫出焦點為，準線方程為，設，由拋物線的定義知，，把代入求得點的坐標，再由求得點的坐標；
（2）設直線的方程為，，，，聯立方程組，整理得，先求出的中點的坐標，再由，得出，用弦長公式表示，構造函數，用導數法求的面積的最大值.
（1）由題意知，焦點為，準線方程為，設，
由拋物線的定義知，，得到，代入求得或，
所以或，由得或，
（2）設直線的方程為，，，，
由得，于是，
所以，，
所以的中點的坐標，
由，所以，
所以，因為，
所以，由，，所以，
又因為，
點到直線的距離為，
所以，
記，，令解得，，
所以在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，
又，
所以當時 ，取得最大值，此時，
所以的面積的最大值為.