Question

（本小題滿分13分）
如圖，已知拋物線，過點任作一直線與相交于兩點，過點作軸的平行線與直線相交于點（為坐標原點）.

(1)證明：動點在定直線上；
(2)作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點，與（1）中的定直線相交于點，證明：為定值，并求此定值.

Answer 1

（1）詳見解析，（2）8.

試題分析：（1）證明動點在定直線上，實質是求動點的軌跡方程，本題解題思路為根據條件求出動點的坐標，進而探求動點軌跡：依題意可設AB方程為，代入，得，即.設，則有：，直線AO的方程為；BD的方程為；解得交點D的坐標為，注意到及，則有，因此D點在定直線上.（2）本題以算代征，從切線方程出發，分別表示出的坐標，再化簡.設切線的方程為，代入得，即，由得，化簡整理得，故切線的方程可寫為，分別令得的坐標為，則，即為定值8.
試題解析：（1）解：依題意可設AB方程為，代入，得，即.設，則有：，直線AO的方程為；BD的方程為；解得交點D的坐標為，注意到及，則有，因此D點在定直線上.（2）依題設，切線的斜率存在且不等于零，設切線的方程為，代入得，即，由得，化簡整理得，故切線的方程可寫為，分別令得的坐標為，則，即為定值8.