Question

已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.
（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；
（ii）當最小時，求點T的坐標.

Answer 1

(1) ；（2）

試題分析：（1）因為焦距為4，所以，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（ⅰ）設PQ的中點為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.
再根據取等號的條件，可得T的坐標.
試題解答：（1），又.
（2）橢圓方程化為.
（ⅰ）設PQ的方程為，代入橢圓方程得：.
設PQ的中點為，則
又TF的方程為，則得，
所以，即OT過PQ的中點，即OT平分線段PQ.
（ⅱ），又，所以
.
當時取等號，此時T的坐標為.
【考點定位】1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線；3、最值問題.