Question

【題目】已知函數（）.

（I）若，求曲線在點處的切線方程；

（II）若在上無極值點，求的值；

（III）當時，討論函數的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）時函數在上無零點；當時，函數在上有一個零點；當時，函數在上有兩個零點.

【解析】

（I）由導數的幾何意義,切線的斜率,先求，，,利用直線方程的點斜式求解. （II）因為,所以若在上無極值點,則，即，，解得.

(III)討論當時,在上的符號, 函數的單調性、極值情況,從而分析

函數的圖像與x軸的交點個數,得出函數的零點個數.

（I）當時，，

，，，

所以曲線在點處的切線方程為.

（II），，依題意有，即，

，解得.

(III)（1）時，函數在上恒為增函數且，函數在上無零點.

（2）時：

當，，函數為增函數；

當，，函數為減函數；

當，，函數為增函數.

由于，此時只需判定的符號：

當時，函數在上無零點；

當時，函數在上有一個零點；

當時，函數在上有兩個零點.

綜上，時函數在上無零點；

當時，函數在上有一個零點；

當時，函數在上有兩個零點.