Question

已知動直線l：（m+3）x-（m+2）y+m=0與圓C：（x-3）²+（y-4）²=9
（1）求證：無論m為何值，直線l與圓C總相交．
（2）m為何值時，直線l被圓C所截得的弦長最小？并求出該最小值．

Answer 1

分析：（1）方法一：設圓心C（3，4）到動直線l的距離為d，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，只要證明d＜r即可；
方法二　直線l變形為m（x-y+1）+（3x-2y）=0．利用直線系過定點，若定點在圓的內部即可；
（2）利用垂徑定理和弦長公式即可得出．

解答：（1）證明：方法一：設圓心C（3，4）到動直線l的距離為d，則
d=

|(m+3)•3-(m+2)•4+m|

(m+3)2+(m+2)2

=

1

2(m+ 5 2 )2+ 1 2

≤

2

．
∴當m=-

5

2

時，d_max=

2

＜3=r．
故動直線l總與圓C相交．
方法二　直線l變形為m（x-y+1）+（3x-2y）=0．
令

x-y+1=0 3x-2y=0

解得

x=2 y=3

如圖所示，故動直線l恒過定點A（2，3）．
而AC=

(2-3)2+(3-4)2

=

2

＜3（半徑）．
∴點A在圓內，故無論m取何值，直線l與圓C總相交．
（2）解：由平面幾何知識知，弦心距越大，弦長越小，即當AC垂直直線l時，弦長最�。�
∴最小值為2

32-( 2 )2

=2

7

．

點評：本題綜合考查了直線與圓相交問題轉化為點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d＜r或利用直線系過定點且定點在圓的內部垂徑定理、弦長公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．