Question

（2013•茂名一模）已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)過點A(0，

2

)且它的離心率為

3

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）已知動直線l過點Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓所過點A可求得b值，再由離心率及a²=b²+c²即可求得a值，
（2）由題意可知|MP|=|MF₂|，即動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，從而可判斷動點M的軌跡為拋物線，進而可求得其方程；
（3）設(shè)R（x₁，y₁），假設(shè)存在直線m：x=t滿足題意，可表示出圓O₁的方程，過O₁作直線x=t的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓O₁的一個交點為G．利用勾股定理可用t，x₁表示出|EG|²，根據(jù)表達式可求得t值滿足條件．

解答：解：（1）因為橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A(0，

2

)，所以b=

2

，b²=2，
又因為橢圓C₁的離心率e=

3

3

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，解得a²=3．
所以橢圓C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）因為線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，
所以|MP|=|MF₂|，即動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，
所以動點M的軌跡C₂是以l₁為準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線，
所以點M的軌跡C₂的方程為y²=4x；
（3）設(shè)R（x₁，y₁），假設(shè)存在直線m：x=t滿足題意，則圓心O1(

x1+4

2

，

y1

2

)，
過O₁作直線x=t的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓O₁的一個交點為G．
可得：|EG|2=|O1G|2-|O1E|2=|O1Q|2-|O1E|2，
即|EG|2=|O1Q|2-|O1E|2=

(x1-4)2+ y 2 1

4

-(

x1+4

2

-t)2
=

1

4

y

2 1

+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+t(x1+4)-t2
=x1-4x1+t(x1+4)-t2=(t-3)x1+4t-t2，
當t=3時，|EG|²=3，此時直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值2

3

．
因此存在直線m：x=3滿足題意．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學生對問題的探究能力解決問題的能力，（2）問的解決基礎(chǔ)是掌握拋物線的定義，（3）問探究問題的處理方法往往是先假設(shè)存在，然后由條件進行推導，如滿足條件即存在，否則不然．