Question

已知拋物線D的頂點是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線D的方程；
（Ⅱ）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線D于A、B兩點．（i）若直線l的斜率為1，求AB的長；（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線D的頂點是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合，設出拋物線方程，即可求得拋物線D的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（i）直線l的方程代入拋物線方程，利用韋達定理可求|AB|；
（ⅱ） 設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²=(a-3)x1+4a-a2，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可設拋物線方程為y²=2px（p＞0）．…（1分）
橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中a²-b²=4-3=1，得c=1，∴拋物線的焦點為（1，0），
∴

p

2

=1，∴p=2，∴拋物線D的方程為y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）直線l的方程為：y=x-4，…（4分）
聯立

y=x-4 y2=4x

，整理得：x²-12x+16=0…（5分）
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16
∴|AB|=

(1+1)2[(x1+x2)2-4x1x2

=4

10

．…（7分）
（ⅱ） 設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（9分）
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2…（11分）
當a=3時，|EG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2

3

．…（12分）
因此存在直線m：x=3滿足題意                        …（13分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解，屬于中檔題．