Question

已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點M（2，1），它們在y軸上有一個公共焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點．
（1）求這三條曲線的方程；
（2）已知動直線l過點P（0，3），交拋物線于A、B兩點，是否存在垂直于y軸的直線m被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數法求出拋物線方程，再根據三條圓錐曲線有公共焦點，求出橢圓與雙曲線中的c的值，利用橢圓與雙曲線的定義，即可得到曲線方程．
（2）先假設存在垂直于y軸的直線m被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值，則以AP為直徑的圓的圓心為A，P的中點，半徑為AP長的一半，再利用圓中半徑，半弦，弦心距構成的直角三角形即可判斷．

解答：解：（1）設拋物線方程為x²=2py（p＞0），將M（2，1）代入方程得p=2．
所以拋物線方程為x²=4y．
由題意知，橢圓、雙曲線的焦點為F₁（0，-1），F₂（0，1）．
設橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

a2-1

=1(a＞1)，則由橢圓定義得2a=|MF1|+|MF2|=2+2

2

，
于是a2=(1+

2

)2=3+2

2

，a2-1=2+2

2

．
所以橢圓的方程為

y2

3+2 2

+

x2

2+2 2

=1．
設雙曲線的方程為

y2

m2

+

x2

1-m2

=1(0＜m＜1)，則由雙曲線定義得2m=|MF1-MF2|=2

2

-2，
于是m2=(

2

-1)2=3-2

2

，1-m2=2

2

-2．
所以雙曲線的方程為

y2

3-2 2

-

x2

2 2 -2

=1．
（2）設A（x₁，y₁），則AP的中點C (

x1

2

，  

y1+3

2

)．
設l'的方程為y=a，C到l'的距離為h，以AP為直徑的圓半徑為r，l'被圓截得的弦長為d．
則h2=|

y1+3

2

-a|2=

1

4

[(y1+3)-2a]2，r2=(

PA

2

)2=

1

4

[x12+(y1-3)2]，
因為點A（x₁，y₁）在拋物線x²=4y上，所以x₁²=4y₁．
由(

d

2

)2=r2-h2=

1

4

[x12+(y1-3)2]-

1

4

[(y1+3)-2a]2，
得d²=[x₁²+（y₁-3）²]-[（y₁+3）-2a]²=[4y₁+（y₁-3）²]-[（y₁+3）-2a]²=4（a-2）y₁-4a²+12a．
當a=2時，d²=8，d=2

2

．

點評：本題主要考查了橢圓，雙曲線，拋物線之間的關系，以及直線與圓位置關系的判斷．