Question

給出以下四個結論：
①若實數x，y∈[0，1]，則滿足：x²+y²＞1的概率為

π

4

②若將函數f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變為偶函數，則φ的最小值是

π

12

；
③曲線y=1+

4-x2

（|x|≤2）與直線y=k（x-2）+4有兩個交點時，實數k的取值范圍是（

5

12

，

3

4

]；
④已知命題p：拋物線y=2x²的準線方程為y=-

1

2

，命題q：若函數f（x+1）為偶函數，則f（x）關于x=1對稱，則p∨q為真命題．
其中正確結論的序號是：

 

．（把所有正確結論的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,三角函數的圖像與性質,直線與圓

分析：①這是幾何概率的求法，先要確定兩個區域和一個測度，可計算面積，相除即可得到；
②根據三角函數的圖象的平移規律，再由誘導公式，即可求出φ，取k的值，即可求出最小值；
③判斷曲線的形狀為半圓，考慮直線與半圓相切，和經過點（-2，1），求出k，即得到所求范圍；
④對命題p，q分別判斷，再由復合命題的真假和真值表，即可判斷．

解答： 解：①區域D：0≤x≤1且0≤y≤1，即正方形及內部，
區域d：以O為圓心，1為半徑的圓外的部分，如圖1，
測度：面積，故概率為

1- 1 4 π

1

=1-

π

4

，故①錯；
②將函數f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后
得到f（x）=sin[2（x-φ）-

π

3

]=sin（2x-2φ-

π

3

），
由偶函數得到2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，φ=

kπ

2

+

π

12

，
k∈Z，當k=0時，φ=

π

12

，故②正確；
③曲線y=1+

4-x2

（|x|≤2）表示以（0，1）為圓心，2為半徑的上半圓，
直線y=k（x-2）+4恒過點（2，4），如圖2
當直線與半圓相切，有

|-1+4-2k|

1+k2

=2，解得，k=

5

12

，
當直線過點（-2，1）時，k=

3

4

，故曲線與直線有兩個交點時，
k的取值范圍為（

5

12

，

3

4

]，故③正確；
④拋物線y=2x²的準線方程為y=-

1

8

，故p為假命題，
若函數f（x+1）為偶函數，則f（1-x）=f（1+x），
故f（x）關于x=1對稱，故q正確，故p∨q為真命題．
故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查直線與圓的位置關系，拋物線的方程和幾何性質，同時考查函數的奇偶性、對稱性，以及三角函數的圖象平移，幾何概率的求法，屬于中檔題．