Question

【題目】已知曲線上的點與定點的距離與它到直線的距離的比是常數，又斜率為的直線與曲線交于不同的兩點。

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若，求 的最大值；

（Ⅲ）設，直線與曲線的另一個交點為，直線與曲線的另一個交點為.若和點 共線，求的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）2.

【解析】

（Ⅰ）由已知條件點到點的距離與點到線的距離之比是常數，列出關系式，化簡求出曲線方程

（Ⅱ）根據題意設直線 的方程為，聯立直線方程與曲線方程，運用弦長公式求出弦長表達式，求出最大值

（Ⅲ）設出點坐標，聯立直線方程與曲線方程，再由三點共線求出的值

解：（Ⅰ）根據題意可得：

整理得：

故曲線 的方程為

（Ⅱ）設直線 的方程為，

由消去 可得

則

設則

則

易得當，，故的最大值為

（Ⅲ）設

則 ①， ②，

又，所以可設，直線 的方程為

由消去可得

則

即

代入①式可得，所以

所以，同理可得

因為三點共線，所以

將點的坐標代入化簡可得，即 ．