Question

【題目】已知數列與的前項和分別為與，對任意，．

（1）若，求；

（2）若對任意，都有．

①當時，求數列的前項和；

②是否存在兩個整數，使成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不存在正整數，理由見解析

【解析】

（1）根據和，可得數列的通項公式，代入，可得數列的通項公式，計算即得；（2）①根據可得，即得數列的通項公式，再利用錯位相減法計算即得；②根據已知可得的通項公式，計算即得，假設整數存在，使成等差數列，表示出，再結合函數單調性即可判斷出結論.

（1），，即，

故，數列是以2為首項，1為公差的等差數列，

.

（2）①依題意，即，，

又因為，所以，所以，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，

，

，錯位相減得：，

所以.

②，且對任意，都有，，即，，可得為等比數列，

，，則有，得，，

所以，

假設存在兩個整數，使成等差數列，

即成等差數列，即，

即 ，因為，所以，即，

令，則，所以遞增，

若，則，不滿足，所以，

代入得，

當時，顯然不符合要求；

當時，令，則同理可證遞增，所以，所以不符合要求.

所以，不存在正整數，使成等差數列.