Question

【題目】設f（x）=|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≥ 對任意實數a≠0恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）≤x+2得：

或 或 ，

即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈，

解得0≤x≤2，

所以f（x）≤x+2的解集為[0，2]

（2）解： =|1+ |﹣|2﹣ |≤|1+ +2﹣ |=3，

當且僅當（1+ ）（2﹣ ）≤0時，取等號．

由不等式f（x）≥ 對任意實數a≠0恒成立，

可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即 或 或 ，

解得x≤﹣ 或x≥ ，

故實數x的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）運用絕對值的含義，對x討論，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉絕對值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集；（2）運用絕對值不等式的性質，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對值的方法，即可解得x的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．