Question

【題目】已知定義在上的函數是奇函數．

（1）求實數，的值；

（2）判斷的單調性，并用函數的單調性定義證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1），；（2）單調遞減，證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由函數定義域為且是奇函數，得到對于任意恒成立，列出方程，即可求解的值；（2）由（1）可得函數的解析式為，在定義域上為單調減函數，根據函數的單調性的定義即可作差證明．

試題解析：（1）因為定義域為且是奇函數，

故對于任意恒成立，

即有對于任意恒成立，

于是有解得或，

又的定義域為，所以，故所求實數，的值分別為，．

（2）由（1）可得函數的解析式為，在定義域上為單調減函數．

用函數的單調性定義證明如下：

在定義域上任取兩個自變量的值，，且，

則，

∵，∴，

又，，故有，即有，

因此，根據函數單調性的定義可知，函數在定義域上為減函數．