Question

【題目】設函數，過點作軸的垂線交函數圖象于點，以為切點作函數圖象的切線交軸于點，再過作軸的垂線交函數圖象于點，，以此類推得點，記的橫坐標為，．

（1）證明數列為等比數列并求出通項公式；

（2）設直線與函數的圖象相交于點，記（其中為坐標原點），求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）．

【解析】

（1）根據導數的幾何意義可求得以點為切點的切線方程，代入可求得，由此可得數列為等比數列，根據等比數列通項公式求得結果；

（2）根據向量數量積的坐標運算可求得，利用錯位相減法可求得結果.

（1）證明：函數，，

以點為切點的切線方程為：，

當時，，即，

又，數列是以為首項，為公比的等比數列,.

（2）解：由題意得：，

，

…①，

則…②，

①②得：，

.