Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，連接.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)根據(jù)底面是矩形,平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,再證明即可.

(2)根據(jù)(1)中建立的空間直角坐標(biāo)系,分別求出與平面的法向量,再利用空間向量解決線面夾角問題即可.

（1）因?yàn)?/span>平面,平面,所以,.

又四邊形是矩形,所以,故兩兩垂直.

以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則,,,,.因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),所以,

又,,所以,所以.

（2）由（1）可知,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則所以

不妨取,則,. 所以是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)平面和直線所成角為,

則,

故平面和直線所成角為.