Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側棱底面，底面是直角梯形，∥，，且，，是棱的中點 ．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）設點是線段上的動點，與平面所成的角為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 ； （2） ；（3）.

【解析】

（Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，利用平面SCD的法向量即可證明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分別求出平面SCD與平面SAB的法向量，利用法向量的夾角即可得出；
（Ⅲ）利用線面角的夾角公式即可得出表達式，進而利用二次函數的單調性即可得出．

（Ⅰ）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

，

設平面的一個法向量為

則 ，令，得 ，∴ ，即

∵平面 ∴∥平面．

（Ⅱ）取平面SAB的一個法向量 ，則

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設，則，平面的一個法向量為

∴

當，即時，取得最大值，且．