Question

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長為的菱形， 底面， ，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角

的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接 ，交 于點，設中點為，連接， ，先根據三角形中位線定理及平行四邊形的性質可得，再證明平面，從而可得平面，進而可得平面平面；（2）以為原點， ， ， 分別為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果

試題解析：（1）證明：連接，交于點，設中點為，連接， ．

因為， 分別為， 的中點，

所以，且，

因為，且，

所以，且．

所以四邊形為平行四邊形，所以，即．

因為平面， 平面，所以．

因為是菱形，所以．

因為，所以平面．

因為，所以平面．

因為平面，所以平面平面．

（2）解法：因為直線與平面所成角為，

所以，所以．

所以 ，故△為等邊三角形．

設的中點為，連接，則．

以為原點， ， ， 分別為軸，建立空間直角坐標系（如圖）．

則， ， ， ，

， ， ．

設平面的法向量為，

則即

則所以．

設平面的法向量為，

則即令則所以．

設二面角的大小為，由于為鈍角，

所以．

所以二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.