Question

某種玫瑰花，進貨商當天以每支1元從鮮花批發商店購進，以每支2元售出．若當天賣不完，剩余的玫瑰花批發商店以每支0.5元的價格回收．根據市場統計，得到這個季節的日銷售量X（單位：支）的頻率分布直方圖（如圖所示），將頻率視為概率．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）若進貨量為n（單位支），當n≥X時，求利潤Y的表達式；
（3）若當天進貨量n=400，求利潤Y的分布列和數學期望E（Y）（統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）由頻率分布直方圖能求出a的值．
（2）由n≥X，知Y=（2-1）X-（n-X）0.5，由此能求出利潤Y的表達式．
（3）若當天進貨量n=400，依題意銷售量X的可能值為200，300，400，500，對應的利潤Y分別為100，250，400．由此能求出利潤Y的分布列和數學期望E（Y）．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖，
得100a+0.002×100+0.003×100+0.003 5×100=1，
解得a=0.0015．（3分）
（2）∵n≥X，
∴Y=（2-1）X-（n-X）0.5=1.5X-0.5n．
∴利潤Y的表達式為Y=1.5X-0.5n．（6分）
（3）若當天進貨量n=400，依題意銷售量X的可能值為200，300，400，500，
對應的利潤Y分別為100，250，400．
∴利潤Y的分布列為：

Y	100	250	400
P	0.20	0.35	0.45

∴E（Y）=100×0.20+250×0.35+400×0.45=287.5（元）．（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率直方圖的合理運用．