Question

已知函數f（x）=ax³+48（a-2）x，a∈R．若f′（2）=-36
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間及極值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,導數的運算,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）由f′（2）=3a•2²+48（a-2）=-36，解得；a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x³-48x，因此f′（x）=3x²-48=3（x+4）（x-4）令f′（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，f（x）的遞減區間為[-4，4]，遞增區間為（-∞，-4）和（4，+∞），進而f（x）_極大值=f（-4）=128，f（x）_極小值=f（4）=-128．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（2）=3a•2²+48（a-2）=-36，
解得；a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x³-48x，
∴f′（x）=3x²-48=3（x+4）（x-4）
令f′（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，
令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4，
∴f（x）的遞減區間為[-4，4]，遞增區間為（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）_極大值=f（-4）=128，f（x）_極小值=f（4）=-128．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的極值問題，導數的應用，是一道基礎題．