Question

已知函數f（x）=x²+alnx（x＞0）
（1）a=-2時，求函數的單調區間；
（2）a=-8時，求函數在[1，e]上的最小值及最大值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=-2時，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，（x＞0）分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可得出單調區間．
（2）當a=-8時，f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

，（x∈[1，e]）分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可得出單調區間，進而得出極值與最值．

解答： 解：f′(x)=2x+

a

x

(x＞0)．
（1）當a=-2時，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，
當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．
∴函數的單調遞增區間為（1，∞）；遞減區間為（0，1]．
（2）當a=-8時，f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

，
當2＜x≤e時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；
當1≤x＜2時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．
∴當x=2時，函數f（x）取得極小值即最小值，f（2）=4-8ln2．
∵f（1）=1，f（e）=e²-8＜0，∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，最大值為1．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．