Question

【題目】已知函數 ．

（1）若，求在處的切線方程；

（2）若對于任意的正數，恒成立，求實數的值；

（3）若函數存在兩個極值點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為（2）（3）

【解析】

（1）利用導數的幾何意義得到切線斜率，利用點斜式可得切線方程；

（2）對分類討論，簡化不等式，即可得到實數的值；

（3）函數存在兩個極值點等價于存在兩個不相等的零點．設，研究函數的單調性與極值即可.

（1）因為 ，所以當時，，

則，

當時，，

所以在處的切線方程為；

（2）因為對于任意的正數，恒成立，

所以當時，即時，，；

當時，即時，恒成立，所以；

當時，即時，恒成立，所以，

綜上可知，對于任意的正數，恒成立，．

（3）因為函數存在兩個極值點，

所以存在兩個不相等的零點．

設，則．

當時，，所以單調遞增，至多一個零點．

當時，因為時，，單調遞減，

時，，單調遞增，

所以時，．

因為存在兩個不相等的零點，所以，解得．

因為，所以．

因為，所以在上存在一個零點．

因為，所以．又因為，

設，則，因為，

所以單調遞減，所以，

所以，所以在上存在一個零點．

綜上可知：．