Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖，曲線由上半橢圓和部分拋物線 連接而成， 的公共點為，其中的離心率為.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過點的直線與分別交于（均異于點），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ).

【解析】試題分析：（1）由上半橢圓和部分拋物公共點為，得，設的半焦距為，由及，解得；

（2）由（1）知，上半橢圓的方程為， ，易知，直線與軸不重合也不垂直，故可設其方程為，并代入的方程中，整理得： ，

由韋達定理得，又，得，從而求得，繼而得點的坐標為，同理，由得點的坐標為，最后由,解得，經檢驗符合題意，故直線的方程為.

試題解析：（1）在方程中，令，得

在方程中，令，得

所以

設的半焦距為，由及，解得

所以，

（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，

易知，直線與軸不重合也不垂直，設其方程為

代入的方程中，整理得：

（*）

設點的坐標

由韋達定理得

又，得，從而求得

所以點的坐標為

同理，由得點的坐標為

，

,即

， ，解得

經檢驗， 符合題意，

故直線的方程為