Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，且經過，.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程和離心率；

（Ⅱ）四邊形的四個頂點都在橢圓上，且對角線，過原點，若，求證：四邊形的面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）標準方程，離心率（Ⅱ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）先設橢圓方程，再由題意，列方程組求解即可;

（Ⅱ）先設的方程為，聯立直線與曲線方程，由根與系數關系，結合題意表示出，即可求出的關系式，進而由面積公式可求出結果.

（I）設橢圓的方程為，則

所以橢圓的標準方程 ，所以，離心率

（Ⅱ）證明：不妨設點、位于軸的上方，則直線的斜率存在，

設的方程為， ， .

聯立，得 ，

則， . ①

由，得 . ②

由①、②，得. ③

設原點到直線的距離為， ，

④

由③、④，得，故四邊形的面積為定值，且定值為.