Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P(-1，

2

2

)在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點M滿足

PM

=

MF2

．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過F₂作不與x軸重合的直線l，l與圓x²+y²=a²+b²相交于A、B并與橢圓相交于C、D，當

F1A

•

F1B

=λ，且λ∈[

2

3

，1]時，求△F₁CD的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知M為線段PF₂的中點，所以OM是△PF₁F₂的中位線，由OM⊥F₁F₂，知PF₁⊥F₁F₂，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=ty+1 x2+y2=3

，得（t²+1）y²+2ty-2=0，再由根與系數的關系結合題設條件進行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵PM=MF₂，∴M為線段PF₂的中點，∴OM是△PF₁F₂的中位線，又OM⊥F₁F₂
∴PF₁⊥F₁F₂，于是有c=1且

1

a2

+

1

2b2

=1，解得a²=2，b²=c²=1，∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（Ⅱ）由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0），由題意，設直線l的方程為x=ty+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=ty+1 x2+y2=3

得（t²+1）y²+2ty-2=0，則y1+y2=-

2t

t2+1

，y1y2=-

2

t2+1

，（5分）
F₁A•F₁B=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=（ty₁+2）（ty₂+2）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4=-2-

4t2

t2+1

+4=

2-2t2

t2+1

，
∵

F1A

•

F1B

∈[

2

3

，1]，∴

2

3

≤

2-2t2

t2+1

≤1，解得t2∈[

1

3

，

1

2

]（7分）
由

x=ty+1 x2 2 +y2=3

消x得（t²+2）y²+2ty-1=0，設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）則S△F2CD=

1

2

|F1F2|•|y3-y4|=

(y3+y4)2-4y3y4

=

(- 2t t2+2 )2+ 4 t2+2

=

8(t2+1) (t2+2)2

（10分）
設t²+1=m，則S=

8m (m+1)2

=

8 m+ 1 m +2

，其中m∈[

4

3

，

3

2

]，
∵S關于m在[

4

3

，

3

2

]上為減函數，∴S∈[

4 3

5

，

4 6

7

]，即△F₂CD的面積的取值范圍為[

4 3

5

，

4 6

7

]（12分）

點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．