Question

已知F₁、F₂是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得∠F₁PF₂=120°，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理化簡整理得cos∠PF₁F₂=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1，進而根據均值不等式確定|PF₁||PF₂|的范圍，進而確定cos∠PF₁F₂的最小值，求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，確定橢圓離心率的取值范圍．

解答： 解：設，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°=-

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得x12=

4c2-3a2

e2

．
∵x₁²∈[0，a²]，∴0≤

4c2-3a2

e2

≤a2，即4c²-3a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

3

2

．
故橢圓離心率的取范圍是e∈[

3

2

， 1)．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．當P點在短軸的端點時∠F₁PF₂值最大，這個結論可以記住它．在做選擇題和填空題的時候直接拿來解決這一類的問題．