Question

如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關于點對稱．

（Ⅰ）若點的坐標為，求的值；
（Ⅱ）若橢圓上存在點，使得，求的取值范圍．

Answer 1

；

解析試題分析：（I）利用中點坐標公式，求M坐標，代入橢圓方程即可；（II）設，表示出P坐標，再利用垂直條件寫關系式，求的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）解：依題意，是線段的中點，
因為，，
所以 點的坐標為．      2分
由點在橢圓上，   
所以 ，                                                  4分
解得 ．                                                         5分
（Ⅱ）解：設，則 ，且．     ①             6分
因為 是線段的中點，
所以 ．                                                 7分
因為 ，
所以 ．    ②                                 8分
由 ①，② 消去，整理得 ．                             10分
所以 ，                          12分
當且僅當 時，上式等號成立．                        
所以 的取值范圍是．                                     14分
考點：１．中點坐標公式；２．基本不等式，分離常數；３．轉化思想.