Question

【題目】已知函數

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，令，是否存在區間，使得函數在區間上的值域為，若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在，見解析

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域范圍內，分別令求得的范圍，可得函數的增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；

（2）假設存在區間，使得函數在區間上的值域為，則，問題轉化為關于的方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，進而可得結果.

（1）的定義域為，

，

①即，則恒成立，

故在單調遞增，

②若，而，故，

則當時，；

當及時，，

故在單調遞減，在單調遞增，

③若，即，同理在單調遞減，

在單調遞增.

（2），所以，

令，則對恒成立，

所以在區間內單調遞增，

所以恒成立，

所以函數在區間內單調遞增，

假設存在區間，使得函數在區間的值域是，

則，

問題轉化為關于的方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，

即在區間內是否存在兩個不相等的實根，

令，則，

設，

則對對恒成立，

所以函數在區間內單調遞增，

故恒成立，

所以，

所以函數在區間內單調遞增.

所以方程在區間內不存在兩個不相等的實根.

綜上所述，不存在區間，

使得函數在區間上的值域是.