Question

【題目】對于函數f（x），若f（x0）＝x0，則稱x0為f（x）的不動點.設f（x）＝x3+ax2+bx+3.

（1）當a＝0時，

（i）求f（x）的極值點；

（ⅱ）若存在x0既是f（x）的極值點，也是f（x）的不動點，求b的值；

（2）是否存在a，b，使得f（x）有兩個極值點，且這兩個極值點均為f（x）的不動點？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（i）是f（x）的極大值點，是f（x）的極小值點（ⅱ）b＝﹣3（2）不存在滿足題設的a，b；詳見解析

【解析】

（1）（i）求出導數，由的根確定函數的單調性，從而確定極值點．

（ⅱ）由和結合可解得；

（2）假設存在滿足題意，由函數的單調性和不動點定義可得矛盾，說明假設錯誤．

（1）當a＝0時，f（x）＝x3+bx+3，f′（x）＝3x2+b，

（i）①當b≥0，f（x）在R單調遞增，無極值點，

②當b＜0時，由f′（x）＝0，得或，

當，f′（x）＞0，故f（x）在，單調遞增，

當時，f′（x）＜0，

在單調遞減，

所以，是f（x）的極大值點，是f（x）的極小值點.

（ⅱ）設x＝x0是f（x）的極值點，則由（i）可知，

又x＝x0是f（x）的不動點，則，

所以b＝﹣3，

（2）不存在滿足題設的a，b，

證明如下：

假設存在滿足題設的a，b，設x1，x2為f（x）的兩個極值點，且為f（x）的不動點，并不妨設x1＜x2，

由于f′（x）＝3x2+2ax+b，

所以x1，x2為方程3x2+2ax+b＝0的兩個根，

當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，可知f（x）在（x1，x2）上單調遞減，故f（x1）＞f（x2），

又x1，x2為f（x）的不動點，所以f（x1）＝x1＜x2＝f（x2），

即f（x1）＜f（x2），矛盾，

所以不存在滿足題設的a，b.