Question

如圖，已知⊙O的直徑AB=3，點C為⊙O上異于A，B的一點，VC⊥平面ABC，且VC=2，點M為線段VB的中點．
（I）求證：BC⊥平面VAC；
（Ⅱ）若AC=1，求二面角M-VA-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直得VC⊥BC，由直徑性質得AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）分別以AC，BC，VC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-VA-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵VC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴VC⊥BC，
∵點C為⊙O上一點，且AB為直徑，
∴AC⊥BC，
又∵VC，AC?平面VAC，VC∩AC=C，
∴BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，
分別以AC，BC，VC所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2

2

，0），

VA

=（1，0，-2），

AB

=(-1，2

2

，0)，
設平面VAC的法向量

m

=

CB

=（0，2

2

，0），
設平面VAM的法向量

n

=（x，y，z），
由

x-2z=0 -x+2 2 y=0

，取y=

2

，得

x=4 z=2

∴

n

=(4，

2

，2)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

4

2 2 × 16+2+4

=

11

11

，
∴二面角M-VA-C的余弦值為

11

11

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．