Question

（12分）如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線 與軸交于點，為橢圓的長軸，已知，且．
（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：對于任意的割線，恒有；
（3）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)略   （Ⅲ）

（1）∵，∴，又∵，∴，
∴，∴橢圓的標準方程為．---（4分）
（2）當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設方程為，
代入橢圓方程整理得：．
，，．----------------------------6分
則
 ，
而
∴，從而．
綜合可知：對于任意的割線，恒有．………------------------（8分）
（3），
即：，
當且僅當，
即（此時適合于的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是．……--（12分）