Question

(本題滿分12分)F₁、F₂分別是雙曲線x²-y²＝1的兩個焦點，O為坐標原點，圓O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y＝kx+b (b>0)與圓O相切，并與雙曲線相交于A、B兩點.（Ⅰ）根據條件求出b和k滿足的關系式；（Ⅱ）向量在向量方向的投影是p，當(×)p²＝1時，求直線l的方程；（Ⅲ）當(×)p²=m且滿足2≤m≤4時，求DAOB面積的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0)  (Ⅱ) y=±x+ （Ⅲ）[3]

：（Ⅰ）b和k滿足的關系式為b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0)………3分
（Ⅱ）設A(x₁,y₁) B(x₂,y₂)，則由消去y得(k²-1)x²+2kbx+b²+1=0，其中k²¹1……4分
∴×=x₁x₂+y₁y₂=(1+k²)x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²= + + 2(k²+1)
由于向量方向上的投影是p∴p²=cos²<,>=     …6分
∴(×)×p²= + +2=1Þk=±∵b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0)， 故b=，經檢驗適合D＞0
∴直線l的方程為y=±x+ …………8分
（Ⅲ）類似于（Ⅱ）可得+ +2=m∴k²="1+" ， b²="4+" 根據弦長公式
得 …10分
則S_DAOB= |AB|×=而mÎ[2,4]，∴DAOB的面積的取值范圍是[3]  12分