Question

【題目】已知函數，.

（1）設函數，討論的極值點個數，并求出相應極值；

（2）若，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）極值點個數見解析，相應極值見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的導函數，對a進行分類討論求解討論極值點；

（2）根據導函數得，結合在上單調遞增，即可得證.

（1）函數

，

∴

，

令，解得或，

當時，；當時，.

①若時，在上單調遞增，在上單調遞減，

在上單調遞增，有2個極值點.

∴當時，函數有極小值，極小值為；

當時，函數有極大值，極大值為.

②當時，在上單調遞增，

在上單調遞減，在上單調遞增，有2個極值點，

∴當時，函數有極大值，極大值為；

當時，函數有極小值，極小值為.

③當時，，

∴在R上單調遞增，無極值點，故無極值.

（2）∵，

又，

∴，

又在上單調遞增，

∴時，有，

∴.