Question

【題目】已知橢圓的左右頂點為，為橢圓上異于的動點，設直線的斜率分別為，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）當橢圓內切于圓時，設動直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點，若，問：的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在最小值為，理由見詳解.

【解析】

（1）設出點的坐標，根據斜率關系結合點在橢圓上，即可求得關系，則離心率得解；

（2）由橢圓和圓的位置關系，即可求得橢圓方程，設出直線的方程，根據向量關系，求得關系，再根據三角形面積公式，即可求得結果.

（1）不妨設的坐標為，則；

又，

則.

故可得，則；

（2）因為橢圓內切于圓，故容易得，結合（1）中所求，

即可容易求得.

故可得橢圓方程為，

①若直線斜率不為零，不妨設其方程為，

聯立橢圓方程可得：

，

則，

整理得

設點的坐標為，

故可得

.

因為，故可得，

即可得，

則.結合，可得，

故.

又

故可得

將代入上式可得：

，令

則，

當且僅當時取得最小值.

②當直線的斜率為零時，設直線為，

聯立橢圓方程可得，

則容易知，

故，

令，

，顯然此時沒有最小值.

綜上所述，的面積存在最小值，最小值為.