Question

設定義在R上的函數f（x），且f（x）≠0，滿足當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=2．
（1）求證：f（x）在R上為單調增函數；
（2）解不等式f（3x-x²）＞4；
（3）解方程[f(x)]2+

1

2

f(x+3)=f(2)+1．

Answer 1

分析：（1）設x＞y代入關系式表示出設f（x），令x=x-y代入所的式子，再由題意判斷出f（x）、f（y）的大小，進行證明出函數的單調性；
（2）根據f（1）=2和關系式求出f（2）=4，代入不等式，再由（1）的結果列出不等式，進行求解；
（3）利用f（2）=4、f（1）=2，以及關系式求出f（0）和f（3）的值，再把方程進行轉化為關于f（x）的二次方程，求出f（x）的值，再利用關系式和函數的單調性，求出函數值的范圍，舍去一個值進而求出對應的x的值．

解答：解：（1）設x＞y，∵f（x+y）=f（x）f（y），∴f（x）=

f(x+y)

f(y)

，
令x=x-y，代入上式得，f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
∵x＞y，∴x-y＞0，∵當x＞0時，f（x）＞1，
∵f（x-y）＞1，∴

f(x)

f(y)

＞1，則f（x）＞f（y），
∴f（x）在R上為單調增函數；
（2）∵f（1）=2，f（x+y）=f（x）f（y），∴f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=4，
由于f（3x-x²）＞4，∴f（3x-x²）＞f（2），
又∵f（x）在R上為單調增函數，∴3x-x²-2＞0，解得1＜x＜2，
∴不等式的解集是（1，2）；
（3）令x=0，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵f（1）=2，∴f（0）=1，
令x=2，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（2+1）=f（2）f（1）=8，即f（3）=8，
∴f（x+3）=f（x）f（3）=8f（x），代入[f(x)]2+

1

2

f(x+3)=f(2)+1得，
[f（x）]²+4f（x）-5=0，解得f（x）=1或-5，
令y=-x代入f（0）=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=

1

f(x)

，
∵f（x）在R上為單調增函數，f（0）=1；
∴f（x）＞0，則f（x）=-5舍去，故f（x）=1，即x=0，
所以所求的方程解是0．

點評：本題是有關抽象函數的題目，需要根據題意和關系式對變量進行適當的“賦值”，再代入對應的式子進行求解，涉及了用做商法證明函數的單調性以及單調性的應用，考查了分析問題和解決問題的能力．