Question

設定義在R上的函數f（x）=

1 x-2 (x＞2) 1 2-x (x＜2) 1 (x=2)

，若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則x₁²+x₂²+x₃²=

 

．

Answer 1

分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，即要求對應于f（x）=某個常數有3個不同實數解，
故先根據題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，
即解分別是1，2，3．從而問題解決．

解答：解：作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，
即解分別是1，2，3．
故x₁²+x₂²+x₃²=1²+2²+3²=14．
故填：14．

點評：數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．